Polski duchowny urodził się 17 października 1923 w Wilnie. Młodość spędził w majątku ojca w Szukiszkach. Kształcił się w gimnazjum oo. jezuitów w Wilnie.

W 1944 r. został przyjęty do Arcybiskupiego Wyższego Seminarium Duchownego w Wilnie i jednocześnie rozpoczął studia filozoficzno-teologiczne na Wydziale Teologicznym Uniwersytetu Stefana Batorego w Wilnie. W 1945 r. jako kleryk uzyskał maturę i wstąpił do Franciszkańskiego Zakonu Świeckich. Od tego samego roku odbywał studia w Białymstoku, dokąd przymusowo zostały przeniesione obydwie uczelnie, których był studentem. Święceń prezbiteratu udzielił mu 18 czerwca 1950 r. arcybiskup metropolita wileński Romuald Jałbrzykowski.

W latach 1951-1955 odbył studia w zakresie teologii moralnej na Wydziale Teologicznym Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego. W 1953 r. uzyskał na tej uczelni licencjat, a studia ukończył z doktoratem.

12 stycznia 1970 papież Paweł VI mianował go administratorem apostolskim części archidiecezji wileńskiej w granicach Polski z siedzibą w Białymstoku i biskupem tytularnym Acci. 8 lutego 1970 r. otrzymał święcenia biskupie. Konsekracji dokonał kardynał Stefan Wyszyński, prymas Polski.

W 1975 r. został mianowany arcybiskupem metropolitą wrocławskim. 25 maja 1985 papież Jan Paweł II kreował go kardynałem prezbiterem. Kard. Henryk Gulbinowicz jest jednym z siedmiu polskich kardynałów.

Odznaczony Orderem Orła Białego, a wcześniej Krzyżem Komandorskim z Gwiazdą Orderu Odrodzenia Polski.

W 2006 r. otrzymał Złoty Medal „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”, a w 2013 r. został udekorowany medalem Ministerstwa Kultury Litwy „Nieś swoje światło i wierz”.

Jest między innymi honorowym obywatelem Wrocławia i rejonu wileńskiego.

Dzięki ks. kard. Gulbinowiczowi na Litwę w czasach sowieckich trafiała drukowana na Zachodzie literatura religijna. Kardynał wspierał też mieszkańców Wileńszczyzny materialnie i duchowo.

Kard. Gulbinowicz wielokrotnie gościł w bliskim swemu sercu Wilnie. Ostatni raz był tu w 2013 roku – na uroczystości swego jubileuszu 90-lecia.