Urodził się w 12 października1881 roku w Grodnie w rodzinie Józefa, lekarza i działacza społecznego, powstańca styczniowego, oraz Ludwiki z Eysmontów. Po ukończeniu gimnazjum rosyjskiego w Grodnie studiował przez rok historię i literaturę polską na Cesarskim Uniwersytecie Warszawskim, a następnie na Uniwersytecie Jagiellońskim. Po obronie pracy doktorskiej (pt. Rola polityczna Antoniego Tyzenhauza) wyjechał do Rzymu jako stypendysta Akademii Umiejętności.
W 1906 r. zamieszkał w Wilnie. Pracował jako nauczyciel języka polskiego w rosyjskich gimnazjach rządowych. W 1915 r., w czasie okupacji niemieckiej, został członkiem tajnego Komitetu Edukacyjnego, przystępując do organizowania polskiego szkolnictwa, zarówno średniego, jak i wyższego. Z jego inicjatywy od września 1915 roku zaczęły funkcjonować dwie szkoły średnie: męska, późniejsze Gimnazjum im. Zygmunta Augusta oraz gimnazjum żeńskie, nazwane następnie imieniem Elizy Orzeszkowej. Stanisław Kościałkowski przez pewien czas pełnił nadzór nad obiema szkołami, uczył też w nich historii i literatury polskiej.
Jednocześnie brał udział w pracach komitetu organizacyjnego Uniwersytetu Wileńskiego i został członkiem tymczasowego senatu tej uczelni. W 1921 r. objął stanowisko zastępcy profesora USB, a w 1935 r. został profesorem zwyczajnym. Jego zainteresowania naukowe koncentrowały się przede wszystkim na historii Wielkiego Księstwa Litewskiego.
W czasie II wojny światowej, po rozwiązaniu Uniwersytetu Stefana Batorego, prowadził w latach 1940-1941 tajne zajęcia ze studentami u siebie w domu. Jednocześnie opiekował się zbiorami Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Wilnie.
W czerwcu 1941 roku został aresztowany przez NKWD i wywieziony do łagru na północy Uralu. W styczniu 1942 roku ewakuował się wraz z armią Andersa do Iranu. Rozwinął tam działalność kulturalną i wydawniczą, tworząc Towarzystwo Studiów Irańskich. Wykładał także na Polsko-Irańskim Uniwersytecie Ludowym oraz na kursach dla nauczycieli.
W 1945 roku przeniósł się do Bejrutu, także tam organizując życie kulturalne i szkolnictwo: stworzył Instytut Polski Naukowy z dwuletnim Studium Polonistycznym. Pobyt na Bliskim Wschodzie wykorzystał do badań nad historią stosunków polsko-irańskich oraz polsko-libańskich i syryjskich.
W 1950 r. wyjechał do Anglii. Zamieszkał w Pitsford Hall koło Northampton. Uczył w szkole sióstr nazaretanek, wykładał także na Polskim Uniwersytecie w Londynie. Członek założyciel Polskiego Towarzystwa Naukowego na Obczyźnie. Był też współpracownikiem paryskiej „Kultury”.
Zmarł 2 września 1960 roku.
